Dopo avere parlato dell'insieme infinito dei numeri naturali (1,2,3,.....) adesso parliamo di un altro insieme infinito di numeri, l'insieme dei numeri reali. Un numero reale è un numero che può avere da zero fino ad infinite cifre dopo la virgola. Per esempio 0.333333... con 3 periodico che si ripete all'infinito è un numero reale. Sappiamo che questo numero: 0.3333... con 3 periodico è uguale a un terzo (1/3).
Anche la radice quadrata di 2 è un numero reale: 1.4142135.... Qui le cifre dopo la virgola sono infinite, solo che a differenza di 0.3333... = 1/3 non c'è alcun periodo che si ripete. Anche i numeri interi sono numeri reali (possiamo immaginare i numeri interi come numeri che hanno infiniti zeri dopo la virgola. Per esempio 2= 2.00000... In questo caso il periodo che si ripete è 0). Sebbene 0.3333... = 1/3 abbia infinite cifre dopo la virgola non sembra che ci sia niente che ci sfugge in questo numero. Infatti tutte le infinite cifre dopo la virgola le conosciamo e sono tutti dei 3. Facilmente ci sappiamo rappresentare la lunghezza 1/3 su un segmento unitario uguale a 1. La lunghezza 1/3 è esattamente uguale a un terzo della lunghezza del segmento. Invece il numero 1.4142135... = radice quadrata di 2 ha infinite cifre che si ripetono senza alcun periodo. Eppure la sua lunghezza è facilmente rappresentabile: è la diagonale di un quadrato avente il lato uguale a uno. Più semplice di così! Eppure ciò che rende misterioso questo numero è il succedersi imprevedibile delle sue cifre! Abbiamo visto due numeri appartenenti entrambi alla stessa categoria dei numeri reali, entrambi graficamente rappresentabili in modo certo, eppure uno dei due ci sembra più misterioso dell'altro. Cosa c'ha questo numero che l'altro numero non ha? Se andiamo a cercare delle differenze poi alla fine le troviamo. Il numero 1.4142135... è un numero irrazionale, cioè non può mai essere espresso come frazione o rapporto di due numeri, a differenza di 0.3333... che è uguale a 1 fratto 3. I numeri irrazionali non hanno mai un periodo, invece i numeri razionali come 1/3 hanno sempre un periodo che si ripete che può essere di una, due o molte cifre. Anche il numero pi-greco = 3.14159... che è uguale al rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è un numero irrazionale e perciò le sue cifre si susseguono senza alcun periodo. Tanti lo vedono come un numero affascinante e misterioso e si sono rotti il capo a studiarlo e qualcuno ha sfruttato al massimo le capacità dei computer per ricavare miliardi di cifre dopo la virgola. Qualcuno studia queste cifre per vedere se ci siano delle regolarità (che non vuole dire periodicità). Ecco, questo è l'insieme infinito dei numeri reali: solo tra il numero zero e il numero 1 ci sono infiniti numeri reali!
Anche la radice quadrata di 2 è un numero reale: 1.4142135.... Qui le cifre dopo la virgola sono infinite, solo che a differenza di 0.3333... = 1/3 non c'è alcun periodo che si ripete. Anche i numeri interi sono numeri reali (possiamo immaginare i numeri interi come numeri che hanno infiniti zeri dopo la virgola. Per esempio 2= 2.00000... In questo caso il periodo che si ripete è 0). Sebbene 0.3333... = 1/3 abbia infinite cifre dopo la virgola non sembra che ci sia niente che ci sfugge in questo numero. Infatti tutte le infinite cifre dopo la virgola le conosciamo e sono tutti dei 3. Facilmente ci sappiamo rappresentare la lunghezza 1/3 su un segmento unitario uguale a 1. La lunghezza 1/3 è esattamente uguale a un terzo della lunghezza del segmento. Invece il numero 1.4142135... = radice quadrata di 2 ha infinite cifre che si ripetono senza alcun periodo. Eppure la sua lunghezza è facilmente rappresentabile: è la diagonale di un quadrato avente il lato uguale a uno. Più semplice di così! Eppure ciò che rende misterioso questo numero è il succedersi imprevedibile delle sue cifre! Abbiamo visto due numeri appartenenti entrambi alla stessa categoria dei numeri reali, entrambi graficamente rappresentabili in modo certo, eppure uno dei due ci sembra più misterioso dell'altro. Cosa c'ha questo numero che l'altro numero non ha? Se andiamo a cercare delle differenze poi alla fine le troviamo. Il numero 1.4142135... è un numero irrazionale, cioè non può mai essere espresso come frazione o rapporto di due numeri, a differenza di 0.3333... che è uguale a 1 fratto 3. I numeri irrazionali non hanno mai un periodo, invece i numeri razionali come 1/3 hanno sempre un periodo che si ripete che può essere di una, due o molte cifre. Anche il numero pi-greco = 3.14159... che è uguale al rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è un numero irrazionale e perciò le sue cifre si susseguono senza alcun periodo. Tanti lo vedono come un numero affascinante e misterioso e si sono rotti il capo a studiarlo e qualcuno ha sfruttato al massimo le capacità dei computer per ricavare miliardi di cifre dopo la virgola. Qualcuno studia queste cifre per vedere se ci siano delle regolarità (che non vuole dire periodicità). Ecco, questo è l'insieme infinito dei numeri reali: solo tra il numero zero e il numero 1 ci sono infiniti numeri reali!
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