Quanto fa 7 elevato alla 3°? Risposta: 343! Che bel numero simmetrico. E la somma delle sue cifre (3 + 4 + 3) è uguale a 10 (7 +3) . E ancora 3 + 4 = 7. C'è una ragione in questa distribuzione così simmetrica e ordinata di questo risultato? Io mi sono dato la pena di cercarla. Ma non è facile. Intanto dimostrare che 7³ è uguale a 343 è presto fatto! Basta eseguire il calcolo! E questo potrebbe bastare! Ma io cercavo dei motivi semplici che facessero vedere in modo semplice, per esempio, la dipendenza della somma dei numeri (3 + 4 + 3) dal numero 10 e altre cose. Intanto consideriamo l'ultima cifra di 343: l'ultima cifra si ottiene per prima cosa moltiplicando 7 x 7 (7 al quadrato) che fa 49. E poi moltiplicando ulteriormente l'ultima cifra di 49 (il 9) per 7.
9 x 7 = 63. Ecco che come ultima cifra otteniamo il 3. Questa si chiama matematica modulo 10. Non c'è bisogno di portarsi dietro tutte le cifre: per ottenere l'ultima cifra di un risultato è sufficiente conservare l'ultima cifra. Ma per la penultima cifra, per la terzultima, eccetera, non esiste una regola così semplice! Allora in matematica modulo 10, ossia conservando solo l'ultima cifra, le potenze di 7 sono: 7 x 7 = 9.
7 x 7 x 7 = 9 x 7 = 3. 7 x 7 x 7 x 7 = 3 x 7 = 1. E infine 1 x 7 = 7.
Continuando otteniamo di nuovo sempre le stesse cifre: 7,9,3,1,7,9,3,1,7,9,3,1,7,.......
Perciò, anche se volessimo conoscere l'ultima cifra di 7 elevato alla 10°, per esempio, non abbiamo bisogno di eseguire tutto il calcolo. Scrivendo in sequenza le cifre 7,9,3,1,7,9,3,1,7,9,.... la 10° cifra che scriviamo è un 9, perciò l'ultima cifra di 7 elevato alla 10° è un 9. Questo è un modo che indica abbastanza semplicemente che l'ultima cifra di 7³ è un 3. Ora vediamo un modo semplice per ottenere la somma (o qualcosa che ci somiglia) delle cifre di un numero (per esempio la somma delle cifre di 7³ = 343 che è 3 + 4 + 3 = 10). Più precisamente non si ottiene la somma delle cifre, ma il resto della divisione della somma delle cifre per il numero 9. Questa è banalmente quella che veniva chiamata nelle scuole elementari la “prova del nove”! Noi la chiameremo più dottamente: matematica modulo 9! Eseguendo una qualsiasi operazione tra due numeri, infatti, anche la stessa operazione sulla somma delle cifre dei numeri dati deve risultare uguale alla somma delle cifre del risultato. E questa è la “prova del nove”. Per esempio 12 + 38 = 50. Prendendo la somma delle cifre:
1+ 2 = 3. 3 + 8 = 11 e poi 1 + 1 = 2. 3 + 2 = 5 che è anche uguale a 5 + 0.
La prova del nove è riuscita.
Dunque per procedere non abbiamo che da eseguire la matematica modulo 9 di 7³.
7 x 7 = 49. 4 + 9 = 13 e 1 + 3 = 4. Dunque 7 x 7 = 4.
7 x 7 x 7 = 4 x 7 = 28. 2 + 8 = 10 e 1 + 0 = 1. Dunque 7 x 7 x 7 = 1.
Continuando con 7 x 7 x 7 x 7, eccetera, ottieniamo ancora le stesse cifre 7,4,1,7,4,1,7,4,1,.......
ma a noi interessa solo 7 x 7 x 7 che è uguale a 1 (modulo 9). Ossia il resto della somma delle sue cifre diviso per 9 è uguale a 1. Dunque la somma delle sue cifre potrebbe essere 10 oppure 19 oppure 28.... Ma noi sappiamo che è uguale a 3 + 4 + 3 = 10. Anche non sapendolo, in effetti possiamo già sapere che 7³ è un numero inferiore a 10³, cioè inferiore a 1000. Possiamo sapere anche che l'ultima cifra è un 3. Dunque la somma delle cifre può essere solo o 10 o 19.
Ecco i possibili risultati: 073,163,253,343,433,523,613,703,793,973,883. Ecco, ho scoperto da dove il gruppo degli 883 ha preso il suo nome!
Per il momento questo è lo stato dell'arte. Si può fare di meglio!
9 x 7 = 63. Ecco che come ultima cifra otteniamo il 3. Questa si chiama matematica modulo 10. Non c'è bisogno di portarsi dietro tutte le cifre: per ottenere l'ultima cifra di un risultato è sufficiente conservare l'ultima cifra. Ma per la penultima cifra, per la terzultima, eccetera, non esiste una regola così semplice! Allora in matematica modulo 10, ossia conservando solo l'ultima cifra, le potenze di 7 sono: 7 x 7 = 9.
7 x 7 x 7 = 9 x 7 = 3. 7 x 7 x 7 x 7 = 3 x 7 = 1. E infine 1 x 7 = 7.
Continuando otteniamo di nuovo sempre le stesse cifre: 7,9,3,1,7,9,3,1,7,9,3,1,7,.......
Perciò, anche se volessimo conoscere l'ultima cifra di 7 elevato alla 10°, per esempio, non abbiamo bisogno di eseguire tutto il calcolo. Scrivendo in sequenza le cifre 7,9,3,1,7,9,3,1,7,9,.... la 10° cifra che scriviamo è un 9, perciò l'ultima cifra di 7 elevato alla 10° è un 9. Questo è un modo che indica abbastanza semplicemente che l'ultima cifra di 7³ è un 3. Ora vediamo un modo semplice per ottenere la somma (o qualcosa che ci somiglia) delle cifre di un numero (per esempio la somma delle cifre di 7³ = 343 che è 3 + 4 + 3 = 10). Più precisamente non si ottiene la somma delle cifre, ma il resto della divisione della somma delle cifre per il numero 9. Questa è banalmente quella che veniva chiamata nelle scuole elementari la “prova del nove”! Noi la chiameremo più dottamente: matematica modulo 9! Eseguendo una qualsiasi operazione tra due numeri, infatti, anche la stessa operazione sulla somma delle cifre dei numeri dati deve risultare uguale alla somma delle cifre del risultato. E questa è la “prova del nove”. Per esempio 12 + 38 = 50. Prendendo la somma delle cifre:
1+ 2 = 3. 3 + 8 = 11 e poi 1 + 1 = 2. 3 + 2 = 5 che è anche uguale a 5 + 0.
La prova del nove è riuscita.
Dunque per procedere non abbiamo che da eseguire la matematica modulo 9 di 7³.
7 x 7 = 49. 4 + 9 = 13 e 1 + 3 = 4. Dunque 7 x 7 = 4.
7 x 7 x 7 = 4 x 7 = 28. 2 + 8 = 10 e 1 + 0 = 1. Dunque 7 x 7 x 7 = 1.
Continuando con 7 x 7 x 7 x 7, eccetera, ottieniamo ancora le stesse cifre 7,4,1,7,4,1,7,4,1,.......
ma a noi interessa solo 7 x 7 x 7 che è uguale a 1 (modulo 9). Ossia il resto della somma delle sue cifre diviso per 9 è uguale a 1. Dunque la somma delle sue cifre potrebbe essere 10 oppure 19 oppure 28.... Ma noi sappiamo che è uguale a 3 + 4 + 3 = 10. Anche non sapendolo, in effetti possiamo già sapere che 7³ è un numero inferiore a 10³, cioè inferiore a 1000. Possiamo sapere anche che l'ultima cifra è un 3. Dunque la somma delle cifre può essere solo o 10 o 19.
Ecco i possibili risultati: 073,163,253,343,433,523,613,703,793,973,883. Ecco, ho scoperto da dove il gruppo degli 883 ha preso il suo nome!
Per il momento questo è lo stato dell'arte. Si può fare di meglio!
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