KURT GODEL (2)

Che cosa significa esattamente: “Ci possono essere delle verità matematiche che non possono essere mai dimostrate”? Forse il tempo che gli uomini vivranno sulla terra non sarà tanto lungo da potere riuscire a dimostrare tutto ciò che desiderano, ma non è questo il significato del teorema di Godel. Innanzitutto non si può neanche sapere quali siano queste verità non dimostrabili, proprio perchè non riusciremo mai a sapere che sono delle “verità”. Infatti se sapessimo che sono delle verità allora le avremmo dimostrate. A questo punto è necessario fare un esempio, per fare vedere che non è tutto campato in aria. Esiste una congettura, detta congettura di Goldbach, dal nome di colui che la fece, che dice: ogni numero pari è la somma di due numeri primi. Forse molti non sapranno nemmeno bene che cosa sia un numero primo, ma non importa, non è questa la sostanza del discorso. Questa congettura dice che ogni numero pari può essere scritto come somma di due numeri primi. Per esempio 10 può essere scritto come 3+7, essendo 3 e 7 numeri primi. Questa è una congettura ma non è un teorema, cioè vuol dire che è solo un'ipotesi ma non esiste alcuna dimostrazione di questa congettura. Altrimenti si chiamerebbe: “teorema di Goldbach” e non “congettura di Goldbach”. La congettura di Goldbach è stata dimostrata valida, con l'ausilio di computer, fino a non so che numero, non so se si tratta di miliardi o di migliaia di miliardi. Ma nonostante questo non si può dire che sia valida per ogni numero, perché si potrebbe trovare un numero, anche uno solo, oltre le migliaia di miliardi, per il quale questa congettura non è valida. La congettura di Goldbach potrebbe essere una di quelle verità per cui non si può mai trovare una dimostrazione, secondo il teorema di Godel. In altre parole, la congettura di Goldbach potrebbe essere vera per ogni numero pari, per tutti gli infiniti numeri pari, senza che questo possa essere mai dimostrato con un teorema matematico. Allora, se così fosse, non potremo mai dire: la congettura di Goldbach è vera!
Potrebbe essere invece che un giorno si scopra un teorema che dica: la congettura di Goldbach è vera, oppure: la congettura di Goldbach è falsa. Allora questa non sarebbe una di quelle verità mai dimostrabili!