DA EUCLIDE A EULERO PASSANDO PER UNA SERIE DI INFINITI NUMERI PRIMI

Già Euclide dimostrò, in maniera semplice, nel 300 a.C. circa, che i numeri primi sono in numero infinito. Ma nel '700 il grande matematico Eulero ottenne, sorprendentemente, una dimostrazione di questo fatto in maniera del tutto diversa da quella di Euclide. (Evidentemente era destino che chiunque fosse stato a dimostrare questo fatto, il suo cognome dovesse incominciare con Eu......). Ora ci accingiamo a seguire questa dimostrazione di Eulero. Se pensate di poter vivere lo stesso senza aver bisogno di seguire questa dimostrazione, allora potete saltare questo post! La dimostrazione è la seguente: si consideri la cosidetta serie armonica. La serie armonica è quella serie data dalla somma infinita di termini 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ........... Una somma infinita di termini può anche dare un risultato non infinito, ma non è questo il caso. Invece nel caso della serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ........ , per esempio, dove il valore di ogni termine è esattamente la metà del valore del termine precedente, il risultato non diverge a infinito ma converge verso un numero preciso, che è il numero 2. Cioè ci si può avvicinare quanto si vuole al valore 2, però senza mai raggiungerlo. Nel caso della serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ..........., invece, il risultato continua a crescere indefinitamente all'infinito, e non è difficile dimostrarlo, seppure lentamente. Ma noi, per il momento, assumiamo che 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ........... =  (infinito) come dato di fatto, riservandoci di dimostrarlo all'ultimo. E dedichiamoci, su questa base, a dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Per ottenere la dimostrazione che cerchiamo, bisogna riscrivere la serie armonica in maniera differente. Infatti la serie armonica si può anche riscrivere così: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ........... = (1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+......)x(1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴+......)x(1+1/5+1/5²+1/5³+1/5⁴+......)
x(1+1/p+1/p²+1/p³+1/p⁴+.......)x(.................)x(.................)x......

Che cos'è questo? Rinchiusa nella prima parentesi c'è la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ........, serie che abbiamo già visto che converge al valore 2. Questa serie è moltiplicata per altre serie successive nelle quali ogni termine è, rispettivamente, un terzo del termine precedente, un quinto, 1/p, ......... , dove p è il successivo numero primo e cioè 7. Nelle parentesi che seguono si prendono in considerazione, dopo p, tutti gli altri numeri primi, che ancora non sappiamo se sono infiniti o finiti, non avendolo ancora dimostrato (!). Non è difficile riconoscere che questa espressione a destra dell'uguaglianza equivale a quella a sinistra, e cioè a 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ..........., se si considera che (a+b+....) x (c+ d+.....) = ac + ad + bc + bd (= a x c + a x d + b x c + b x d, per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma). E se si considera anche che tutti i numeri interi, da 1 a infinito, si possono scrivere come tutte le diverse combinazioni di prodotti di numeri primi! Così tutti i numeri 2,3,4,5..... a denominatore, a sinistra dell'uguaglianza, ce li abbiamo a denominatore a destra dell'uguaglianza!

Come è vero che la serie 1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+...... converge (al valore 2), così è altrettanto vero che convergono, a un valore finito, tutte le altre serie: 1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴+......, 1+1/5+1/5²+1/5³+1/5⁴+......, ecc...., essendo che tutti i valori dei loro termini sono, rispettivamente, più piccoli dei valori 1, 1/2, 1/2², 1/2³, 1/2⁴

Ossia tutte le parentesi contengono, dentro di loro, un valore finito. Perciò, essendo che il valore a sinistra dell'uguaglianza tende a infinito (serie armonica), perché il valore a destra dell'uguaglianza tenda a infinito, è necessario che le parentesi siano in numero infinito, e cioè che i numeri primi siano infiniti! c.v.d. (che vi avevo detto?) Ci rimane da dimostrare solo che la serie armonica non può convergere a un valore finito, ma il suo valore cresce indefinitamente.

Dunque non ci rimane che riscrivere la serie armonica in questo modo:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + (........... ...) + (........ ...) + ............

in maniera che i termini dentro le parentesi siano in numero di 2,4,8,....secondo le potenze di 2. Si dimostra facilmente che ogni parentesi racchiude un valore che è sicuramente maggiore di 1/2, perché la serie armonica è sicuramente maggiore di questa serie: 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + (1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16) + (........... ...) + (........ ...) + ............ dove ogni valore racchiuso nelle parentesi è uguale esattamente a 1/2.
Infatti 1/3 è maggiore di 1/4.
1/5, 1/6, 1/7 sono tutti maggiori di 1/8.
1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15 sono tutti maggiori di 1/16 e via di seguito.
Quindi la serie armonica può essere riscritta come una somma infinita di termini sicuramente maggiori di 1/2 e per questo fatto sicuramente crescerà indefinitamente e non convergerà verso nessun numero finito.

TRATTASI ANCORA DI INSIEMI INFINITI..........

Trattasi ancora di insiemi infiniti. E' ciò che avvicina un'attività umana, come la matematica, all'infinito e cioè al trascendente. In effetti è quello che rende interessante la matematica, il fatto di potersi occupare di insiemi infiniti, di potere stabilire regole che valgono per un insieme infinito, di potere spaziare per uno spazio infinito dei numeri, come viaggiare con un'astronave virtuale verso insiemi sempre più grandi di numeri, verso l'ignoto senza limiti e scoprire sempre cose nuove. Trattando sempre di numeri primi, una delle tante domande che tengono e hanno tenuto impegnati i matematici è la seguente: esistono infinite coppie di numeri primi gemelli? I numeri primi gemelli sono quelle coppie di numeri primi che distano tra loro solo di due unità, come 5-7, 11-13, 17-19, 41-43, 101-103........ Andando avanti con i numeri si trovano, si sono trovate sempre, coppie di numeri primi gemelli, fino a dove è stato possibile spingersi in avanti. La domanda è: sono infinite queste coppie di numeri, cioè sarà sempre possibile trovare una coppia più grande di quella precedente? In fondo è una domanda semplice e probabilmente proprio la semplicità della domanda, in unione al fatto di non essere mai riusciti a trovare una risposta, ha tenuto e mantiene vivo l'interesse dei matematici. I matematici fanno matematica per puro diletto, per andare a caccia di risposte a domande a cui nessuno prima aveva saputo rispondere, però non si può mai sapere se la risposta a un qualsiasi quesito potrà avere dei risvolti pratici, come nel caso del sistema RSA di crittografia trattato nel post precedente. Godel, nel 1931, aveva dimostrato che ci sono verità matematiche che non potranno mai essere dimostrate! ( vedi posts: KURT GODEL      KURT GODEL (2)      KURT GODEL (3) ). Una verità indimostrabile potrebbe essere proprio quella che riguarda il numero (infinito o finito) dei numeri primi gemelli! Forse, in base a ciò che ha scoperto Godel, non potremo mai sapere se queste coppie di primi gemelli sono in numero finito o se sono in numero infinito! A questo punto è doveroso fare una precisazione: nel post KURT GODEL (2) ho scritto: “non si può neanche sapere quali siano queste verità non dimostrabili, proprio perchè non riusciremo mai a sapere che sono delle “verità”. Infatti se sapessimo che sono delle verità allora le avremmo dimostrate.” Dal punto di vista logico, quello che ho scritto è esatto, però non rende esattamente l'idea ed è bene precisare. Io sto imparando queste cose dalle pubblicazioni divulgative (auspicando di entrare un giorno nei dettagli più tecnici) ed è giusto che io precisi meglio quello che vado imparando. Mettiamo il caso che un giorno si scopra questa verità: non è possibile decidere (scoprire) se i numeri primi gemelli sono finiti o se sono infiniti. Allora questa verità sarebbe senza dubbio vera, però riguarderebbe un'altra verità, della quale non si potrebbe sapere se essa è vera o meno. E cioè non si potrebbe mai sapere se i primi gemelli sono in numero finito o infinito. E quindi sarebbe in qualche modo possibile sapere che cosa riguardano queste verità indimostrabili! (Mi rendo conto che è un ragionamento arzigogolato e che potrebbe apparire anche contorto, però l'argomento in se stesso è ostico ed è quello che ritengo di avere capito e ritenevo doveroso fare questa precisazione!) Se imparerò o disimparerò qualche altra cosa cercherò di farlo presente!

IL MISTERO DEI NUMERI PRIMI (ovvero: è più facile comporre che scomporre).

I numeri primi hanno costituito da sempre uno dei più difficili campi di indagine dei matematici. Per esempio i matematici hanno da sempre cercato una semplice formula o procedimento che sia in grado di “sfornare”, per così dire, in sequenza i numeri primi, però non l'hanno mai trovato. Ricordiamo che un numero primo è un numero intero che è divisibile solo per se stesso e per uno. A fianco di questa “osticità” dei numeri primi, che hanno nel farsi rinchiudere in una semplice formula, esiste altresì anche un semplice modo per concettualizzarli. Il semplice modo è questo: basta scrivere (visualizzare mentalmente) tutti i prodotti di due fattori, da 2 a infinito, per visualizzare tutti i numeri che primi non sono, cioè i numeri composti. In questo modo:

2 x 2, 2 x 3, 2 x 4, 2 x 5, 2 x 6 ...............................

3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6 ...............................

4 x 4, 4 x 5, 4 x 6 ...............................

5 x 5, 5 x 6 ................................

6 x 6 ..................................

...............................................................

....................................................

Questi prodotti rappresentano tutti i numeri che primi non sono e perciò basta togliere questi dall'insieme di tutti i numeri interi per avere tutti i numeri primi. Senonché ci si accorge subito che è un'impresa ardua. Infatti se proviamo a scrivere i corrispondenti valori numerici ci accorgiamo che non è possibile trovare un semplice modo per ordinare questi valori in ordine crescente, in aggiunta al fatto che questi valori sono ridondanti, ossia compaiono più di una volta.

4, 6, 8, 10, 12 .........

9, 12, 15, 18..........

16, 20, 24..........

25, 30..........

36.........

Questa dicotomia apparente, questo dissidio insanabile, tra la semplicità nel visualizzare mentalmente il primo triangolo infinito di prodotti, e l'impossibilità di visualizzare mentalmente, in maniera ordinata, la successione dei valori che questi prodotti costituiscono, è uno di quei problemi che fanno scervellare uno che si occupa di matematica. Un problema irrisolto dei matematici è quello di stabilire, con un metodo semplice, se un dato numero è un numero primo o se è composto e in questo secondo caso, trovare i fattori primi di cui è composto. Il problema riguarda sia i numeri piccoli che i numeri grandi, perché è un problema di metodo. Però, per quanto riguarda i numeri piccoli, e qui per numeri piccoli intendiamo numeri anche con 10 cifre, un computer dotato di un programma apposito può facilmente individuare se sono primi e (se non lo sono) scomporli in fattori primi in una frazione di secondo. La difficoltà matematica nello scomporre grandi numeri invece sta alla base del sistema RSA che si usa per “criptare” le informazioni che viaggiano su internet, cioè per renderle illeggibili a un eventuale pirata informatico che non sia in possesso della chiave giusta per “decriptare” le informazioni così criptate. Questo sistema si basa sul fatto che, mentre per eseguire il prodotto tra due numeri primi di 100 cifre circa, a un computer basta, anche qui, una frazione di secondo, per eseguire l'operazione inversa, ossia per ricavare, dal numero di 200 cifre circa ottenuto, i due numeri primi di 100 cifre di cui il numero è composto, a un computer appositamente programmato è necessario un tempo decisamente più lungo (giorni), e questo per la difficoltà di metodo matematico di cui si diceva. Quella di trovare metodi sempre più efficaci per scomporre questi grandi numeri in fattori primi è una ricerca che va avanti e perciò questo metodo RSA potrebbe essere reso inutilizzabile se si riuscisse a scoprire o a elaborare un metodo rapido di scomposizione. I numeri primi quanti sono? Sono in numero infinito, così come i numeri composti. Questo significa che continuando a eseguire tutti i prodotti indicati dal primo triangolo infinito di numeri (i numeri composti) ci sarà sempre qualche spazio lasciato tra numero e numero (i numeri primi appunto). Per esempio, tra i pochi valori che abbiamo calcolato sono sicuramente rimasti fuori i numeri 1,2,3,5,7 e 11: significa che sono numeri primi. Che i numeri primi sono in numero infinito lo dimostrò già Euclide (300 a.C.) con una semplice dimostrazione. I numeri primi però diventano sempre più rarefatti (e di conseguenza i numeri composti sempre più fitti) man mano che i numeri crescono. I matematici non studiano la matematica perché essa debba avere qualche scopo pratico, anche se alla fine la matematica serve sempre a qualche scopo. Abbiamo visto come si sia usata, con l'avvento dei computer, la difficoltà di scomposizione di grandi numeri per usare questi grandi numeri per criptare le informazioni su internet. A dire il vero i numeri primi hanno servito anche a un altro scopo, molto meno pratico e molto più concettuale: hanno servito per dimostrare, nel 1931, il teorema di indecidibilità o teorema di incompletezza di Godel. Il teorema di Godel (non mi dilungo qui, vedi posts del 18-02-2008) è uno dei più grandi risultati, dal punto di vista concettuale, del pensiero matematico. Riguarda l'insieme infinito dei numeri (cosa questa che si ricollega in qualche modo al trascendente) e sostanzialmente dice che ci possono essere (o ci sono?) delle verità matematiche che non potranno mai essere dimostrate! Per dimostrare questo teorema, Godel ha usato i numeri primi e più precisamente ha usato la proprietà che ha ogni numero, anche questa dimostrata in maniera semplice da Euclide, della fattorizzazione unica. Essa dice, semplicemente, che ogni numero può essere scomposto in maniera unica in fattori primi! Per esempio, il numero 30, tanto per prendere un numero a caso, può essere scomposto in diversi modi: 3 x 10 oppure 5 x 6 oppure ancora 2 x 15. Però se si scompone nei suoi fattori primi, allora può essere scomposto unicamente in questo modo: 2 x 3 x 5 ! (Il numero 1 non si usa, è una classe a sè stante, altrimenti si potrebbe moltiplicare quante volte si vuole per 1!).

TIME!.......................

Nell'infinita perfezione della creazione, ogni cosa ha il suo perfetto compimento, anche il tempo. Ciò che prima si poteva fare, arriva un tempo che non si può fare più. E ora è arrivato il tempo e tutte le cose cambieranno in modo radicale. Non si può sempre farsi beffe del Signore e della Sua parola. Il Signore è paziente e longanime, ma anche Lui ha il Suo tempo. Questo tempo di ateismo, di materialismo, di disprezzo della religione e del sacro ha da finire. Il tempo non dura tutto il tempo. Fin qui e non oltre. Finora abbiamo vissuto come se il nostro Signore fosse il caso (teoria dell'evoluzionismo) o come gli animali, i quali non hanno da preoccuparsi del loro futuro eterno destino, basta che mangino, bevano, dormano e si riproducano. Ogni cosa volta a cambiare questa tendenza è vista come una bestemmia dagli uomini di questo tempo, i quali non vogliono sentire parlare di un Dio diverso dal loro, che si chiama egoismo o individualismo o denaro o materialismo o soddisfamento dei propri bisogni individuali. Nella sapienza di questo mondo non c'è spazio per il Signore, così come nei notiziari. Solo nelle rubriche religiose si può parlare del Signore, anche se Egli è il nostro Signore, Colui che ci ha creati e redenti e al quale dobbiamo tutto, anche il respiro. Anche nelle nostre feste più importanti, che sono Pasqua e Natale, ci si ricorda sempre di festeggiare alla grande, anche nei notiziari lo si ricorda e sempre ci si dimentica della causa del festeggiamento. Ed è una cosa inaudita se si pensa alla portata della salvezza data da questi due eventi: il Natale e la Pasqua. L'estrema annichilazione del Signore, prima in una carne umana e poi sul patibolo della Croce. Una cosa è non credere, che è ancora in qualche modo giustificabile e un'altra cosa è disprezzare il Signore, facendo asservire una festa religiosa ai propri scopi personali, per fare i bagordi, non conoscendo e non volendo conoscere davvero la portata di questi due eventi che sono al centro della storia della salvezza dell'uomo. D'altronde il terzo dei dieci comandamenti dice di santificare le feste e quindi è giusto che gli uomini, in queste due date, festeggino i loro dei, che sono il materialismo e il godimento dei beni! Alla domenica si festeggia anche il “dio guadagno”, infatti i grandi supermercati adesso aprono anche alla domenica, facendo i turni! La Scrittura però si deve adempiere! La Scrittura che dice: “La pietra che i costruttori hanno scartato è diventata testata d'angolo”! Così come ai tempi di Cristo hanno scartato Cristo, la pietra angolare, nel nostro tempo i costruttori, ossia tutti quelli chiamati a costruire il mondo, ossia tutti noi in qualche misura, continuano a scartare la “pietra angolare”, senza la quale pietra non si può costruire nulla di solido e ogni costruzione è destinata a cadere in rovina! La pietra angolare che è data dalla Sapienza divina, insegnata dagli insegnamenti del Santo Spirito! Ma nuovamente sarà ricostruito un mondo dove gli uomini abiteranno a lungo (“per mille anni”, così come dice la Scrittura nell'Apocalisse di San Giovanni). Sarà ricostruito proprio sulla “pietra angolare” che è Cristo e sarà ricostruito sulle macerie di quello vecchio che da tempo ormai sta mostrando tutti i segni del suo cedimento!

Lettera ad un'amica.

Socrate diceva due cose. Una era questa: diceva che l'unica cosa che sapeva era quella di “non sapere”. L'altra era che lui era come una “levatrice”, una che aiuta le donne partorienti a dare alla luce il loro figlio. La levatrice non fa nulla, se non favorire la venuta al mondo del bambino. Favorire e cioè togliere gli impedimenti per permettere al bambino di nascere. Ma il bambino esiste già e non è suo. Lui ha solo favorito la venuta alla luce di un grande mistero che esiste già indipendentemente da lui e che appartiene alla donna. Così Socrate faceva il paragone di se stesso con la levatrice per dire che il suo mestiere di filosofo era solo quello di tirare fuori dal pensiero, dall'animo delle persone, qualcosa che esisteva già in loro. Tu mi hai chiesto: “Che cosa ti piacerebbe fare?”. E io ti ho risposto: “L'insegnante di religione”. Per quanto sappia che io non ho da insegnare nulla agli altri, ma forse, come Socrate, mi sento destinato a questo “mestiere” di tirare fuori, fare venire alla luce, dalla coscienza delle persone, qualcosa che già esiste dentro di loro. Si favorisce la venuta alla luce di qualcosa che già esiste e che appartiene a tutti, qualcosa che arricchisce tutti, e cioè il mistero di Cristo dentro ognuno di noi.
Se si crede in qualcosa si agisce conformemente a ciò che si crede. Io vivo una vita di fede veramente, intensamente vissuta, da più di 20 anni. Questo non senza prove e crisi che hanno messo in dubbio la mia stessa fede. Non ho mai sentito la vocazione a vivere la mia fede nel celibato, anche se mi sono reso disponibile alla volontà del Padre Eterno, qualunque cosa mi chiedesse di fare. Ma ho sempre sentito che la mia vocazione era quella del matrimonio, anche se, a dire il vero, ho trovato la compagna giusta solo una volta e poi mai più, tanto tempo fa, ormai. La vocazione resta tale, anche adesso, fino all'ultimo, perché poi la possibilita di realizzarla in ultimo (e sottolineo in ultimo) non spetta a noi, ma al Padre Eterno. A noi non resta che essere fedeli ad essa. Come Abramo che credette nella sua vocazione fino all'ultimo e persino vi credette quando il Signore chiese di sacrificargli ciò che aveva di più caro e cioè il figlio diletto, Isacco, il figlio stesso della promessa del Signore, avuto in tarda età. Dico questo solo per “inquadrare” la mia persona alla vista degli altri, per rispondere a quelle poche elementari domande che le persone si fanno quando incontrano un'altra persona, ma non certo per rispondere esaustivamente a tutte le domande che gli altri si pongono su di me, perché per queste ci vuole tempo e forse il tempo non basta, perchè ogni persona è un abisso profondo di mistero, il quale mistero solo in Cristo sarà pienamente rivelato. Così tu potrai parlarmi di te, certo senza essere esaustiva, dicendomi solo quelle poche cose che tu ritieni importanti, quelle poche cose che ritieni che gli altri debbano sapere su di te per incominciare a conoscerti e così avremo fatto religione e infatti il vocabolo “religione” viene dal verbo “religere” che significa “unire”. Infatti, come ben saprai, la volontà di Dio Padre, come dice il Signore stesso nell'ultima cena, nel Vangelo di Giovanni, è che tutti quanti siano una cosa sola, così come il Figlio e il Padre sono una cosa sola nell'Amore, cioè nello Spirito Santo.
Credo che la religione, ossia una vita vissuta riferendosi a Dio, riferendosi a Cristo, sia ciò che manca all'uomo per realizzare il progetto di Dio su di lui ed è proprio ciò che manca all'uomo della nostra epoca, più che in ogni altra epoca. Dio è “connaturato” all'uomo, non è un optional. L'uomo infatti ha sempre cercato Dio, in tutte le epoche e in tutte le culture, anche quelle tribali. Mancando Dio è come se mancasse il respiro stesso all'uomo, anche se l'uomo di oggi va ostentando con orgoglio proprio questa sua presunta indipendenza da Dio, come se davvero l'uomo potesse fare a meno del suo Creatore!
Se devo rispondere più a fondo alla tua domanda: “Che cosa ti piacerebbe fare?”, ti dico che credo che il Signore stesso mi inviti a formare una comunità, un movimento di vita in Lui e questo lo credo già da qualche anno, anche se non so ancora come questo si realizzerà. So che sarà il Signore stesso a guidare questo movimento, il Signore che abita in coloro che Lo amano e osservano i Suoi comandamenti, così come dice ancora il Vangelo di Giovanni. Sarà un movimento “laico”, dove non si prendono i voti e dove non ci sono “superiori”, ma la legge del Signore deve essere scolpita nei cuori!
Io credo in ciò che insegna la Chiesa Cattolica.
Credo che il Signore stesso la regga e la sostenga, così come ha promesso il Signore stesso nel Vangelo, anche se so benissimo che i suoi rappresentanti possono essere certamente non irreprensibili, tutt'altro!
Anzi, credo che molti dei suoi rappresentanti spiacciono a Dio, così come è anche testimoniato da alcune rivelazioni private, come quelle di Maria Valtorta o di Vassula Ryden. E spiacendo a Dio, certamente hanno bisogno di essere corretti, come minimo! E questo sarà ciò che fara il Signore!
Infine, un'ultima cosa.
Credo che l'opera che il Signore farà a partire da me, sarà osteggiata e proprio all'interno della Chiesa, là dove invece dovrebbe essere accolta!
Questo a testimonianza che sarà il Signore stesso l'autore dell'opera!
Così come dice il Signore stesso nel Vangelo: “Il mondo non può odiare voi, ma odia Me, perché attesto che le sue opere sono cattive”!
Ho anche avuto la conferma di questo fatto qualche anno fa, quando, per volontà del Signore, mi sono accinto a formare un gruppo di preghiera e mi sono sentito rivolgere accuse insensate da parte di persone consacrate!
Ti lascio i miei più fervidi auguri che la tua vita risplenda nella luce ineguagliabile di Cristo il Signore e spero che questa mia testimonianza porti il suo frutto!

Con amicizia e stima.
Stefano.

UN CRITERIO DI DIVISIBILITA' ANCHE PER IL 7!

Chi è che si ricorda ancora i criteri di divisibilità che si studiano alle scuole medie? Criteri di divisibilità:
Se un numero termina con una cifra pari allora è divisibile per 2. Se la somma delle cifra di un numero è divisibile per 3, allora quel numero è divisibile per 3. Se il numero formato dalle ultime 2 cifre di un numero è divisibile per 4 allora tutto quel numero è divisibile per 4. Se un numero termina con 0 o con 5 allora quel numero è divisibile per 5. Per essere divisibile per 6 un numero deve essere divisibile contemporaneamente per 2 e per 3. Per essere divisibile per 8 è sufficiente che lo sia il numero formato dalle ultime 3 cifre. Per essere divisibile per 9 è sufficiente che la somma delle cifre di un numero sia divisibile per 9. Per 10, bisogna che sia divisibile contemporaneamente per 2 e per 5. Per 11 è un po' più difficile: bisogna che la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari sia essa stessa divisibile per 11. Poi per 25: è sufficiente che lo sia, divisibile per 25, il numero formato dalle ultime 2 cifre, così come per 4. A proposito: il singolare privilegio dei criteri di divisibilità per 3 e per 9 (basta che sia divisibile per 3 la somma delle cifre di un numero) deriva forse dal fatto che il 3 è il numero perfetto per eccellenza, il numero della Ss. Trinità? Matematicamente parlando, deriva dal sistema numerico da noi usato, il sistema decimale, con 10 cifre appunto. Deriva dal fatto che 10 = 9 + 1. E a sua volta 9 = 3 x 3. Se usassimo un sistema a 16 cifre, un sistema cosiddetto “esadecimale”, allora la stessa proprietà che vale per 3 e per 9 nel sistema decimale, varrebbe per 3, per 5 e per 15, perché 16 = 15 + 1 e a sua volta 15 = 3 x 5! Se poi la Ss. Trinità abbia praticamente deciso lei il nostro sistema numerico decimale, dotandoci di 10 dita, questa è un'altra questione! In questa carrellata di criteri di divisibilità vi sarete forse accorti che manca un criterio di divisibilità per il 7! Eppure ci sono proprio tutti, dal 2 fino all'11! Forse avete pensato, come avevo fatto io, che non esiste un criterio semplice di divisibilità per 7 ed è per questo che alle scuole medie non si insegna! Però è un peccato, che non esista, proprio solo per il 7, questo numero così misterioso, così mistico! In realtà io ne ho trovato uno e non è affatto difficile, forse è solo un po' più complicato degli altri, ma di poco! Eccolo!:
Intanto bisogna (come minimo) conoscere la tabellina del 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. In questo modo, un numero a due cifre si può individuare subito se è divisibile per 7 o meno. Infatti ogni cifra superiore o uguale a 7 si può sostituire con la stessa cifra a cui è stato sottratto 7, e la divisibilità per 7, così facendo, non cambia. Per esempio 98 lo possiamo sostituire con 21 (2 = 9 - 7 e 1 = 8 – 7) e 21 sappiamo che è divisibile per 7. La parte interessante viene per un numero a 3 cifre. Si usa il fatto che 1001 è divisibile per 7 (1001 = 7 x 11 x 13) e quindi, aggiungendo 1001 a un numero, o i suoi multipli (2002, 3003, 4004, ........), la divisibilità per 7 del numero non cambia. Per esempio, vogliamo stabilire se 644 è divisibile per 7. Prendiamo la terza cifra, il 6. Qual è quella cifra, aggiunta davanti al 6, che mi dà un numero della tabellina del 7? E' il 5, che aggiunto davanti al 6, forma 56, divisibile per 7. Allora a 644 aggiungiamo 5005 e viene: 5649. Sappiamo già che 56 è divisibile per 7, dunque è sufficiente che lo sia anche 49 perché 644 sia divisibile per 7 e lo è. E' molto più facile a farsi che a spiegarsi! (Un trucco per individuare subito la cifra da aggiungere davanti è quello di ricordarsi i numeri della tabellina del 7 in questo modo: 1421 e 3563. In questi due numeri ci sono tutti: 14, 42, 21 e 35, 56, 63. Il 28, il 49 e il 70, avendo una cifra superiore o uguale al 7, possono essere sostituiti, come abbiamo visto, dal 21, 42 e 00). Per i numeri che hanno da 4 a 6 cifre si procede questo modo: si sottrae dalla 1° cifra la 4°, dalla 2° la 5°, dalla 3° la 6°, sempre in virtù del fatto che 1001 è divisibile per 7. Se vengono numeri negativi basta aggiungere 7. Per esempio, dobbiamo stabilire se 246339 è divisibile per 7.
9 – 6 = 3
3 – 4 = -1 (+7) = 6
3 – 2 = 1

Quindi ci resta solo più da stabilire se 163 è divisibile per 7. Col metodo già spiegato, aggiungendo 2002, viene 2165. Poiché 65 non è divisibile per 7, allora il numero di partenza 246339, non è divisibile per 7, anzi sappiamo che diviso per 7 dà come resto 2, perché 65 diviso 7 dà come resto 2. Per i numeri a più di 6 cifre è sufficiente sommare e sottrarre le cifre a gruppi di 3, come abbiamo visto per l'esempio a 6 cifre, ed eventualmente aggiungere o togliere 7 alle cifre così ottenute, là dove si rende necessario. Un esempio chiarirà più di tante parole.

Stabilire se 114.594.262.860 è divisibile per 7.
Per ottenere la 1° cifra si fa così: (1° + 7°) cifra meno (4° + 10°) cifra
(0 + 4) – (2 + 4) = 4 – 6 = - 2 (+ 7) = 5
2° cifra: (2° + 8°) - (5° + 11)
(6 + 9) – (6 + 1) = 15 – 7 = 8 (- 7) = 1
3° cifra: (3° + 9°) - (6° + 12°)
(8 + 5) - (2 + 1) = 13 – 3 = 10 (- 7) = 3

Abbiamo 315 (+ 6006) = 6321. E quindi il numero 114.594.262.860 è divisibile per 7. Avevo preso un numero a caso!
Forse spiegato così potrà sembrare complicato, ma non è più complicato del criterio di divisibilità per 11.
Insomma! Tutti i numeri fino a 11 hanno il loro bel criterio di divisibilità e il 7 non ce lo deve avere? -E perché proprio io?- dice il 7! -Non è giusto, tocca sempre a me pagare?-. L'ho sentito che si lamentava così! Siamo in democrazia! Vai, 7, vai..... eccoti accontentato, vai bello tranquillo anche tu, con il tuo bel criterio di divisibilità fresco fresco!

DUE SISTEMI DI EQUAZIONI VERAMENTE SPECIALI!

Queste sono le equazioni della relatività ristretta (o “relatività speciale” o ancora “relatività particolare”) di Einstein.
x è lo spazio (una sola dimensione di esso, lungo il moto) e t è il tempo.
x' e t' sono lo spazio e il tempo misurati da un secondo osservatore in moto rispetto al primo.
v è la velocità di allontanamento reciproco tra i due osservatori.
c è la velocità della luce.
C'è qualcosa che rende particolari queste equazioni, indipendentemente dal fatto che esse descrivono qualcosa di insolito e inaspettato prima della scoperta fatta da Einstein. Infatti queste equazioni sono particolari da un punto di vista matematico e devono esserlo se vogliono davvero soddisfare i postulati dai quali Einstein fece discendere la sua teoria della relatività. Non c'è bisogno di conoscere la teoria della relatività per accorgersi di questa particolarità, ma è sufficiente solo sapere maneggiare un sistema di equazioni di 1° grado, cosa che si impara alle scuole medie e alle scuole superiori. Dal sistema di equazioni (1) si ricavano le equazioni (2) e viceversa. Però, se non siete capaci di risolvere un sistema di equazioni di 1° grado, non importa, infatti, con queste equazioni, è sufficiente che scambiate tra di loro x con x' e t con t' e a v cambiate segno, in modo che +v diventi -v e viceversa, per avere lo stesso risultato! Però, attenzione! Lo potete fare solo con queste equazioni e non con altre, proprio perché queste sono equazioni speciali, che indicano una speciale simmetria in natura, simmetria di cui nessuno, prima di Einstein, si era accorto!

LISTA DI LINKS "SCIENTIFICI" DI QUESTO BLOG

Ho preparato questa lista di links “cliccabili” di post (fino al 1° Aprile 2009) di questo mio blog, post che riguardano argomenti che si riferiscono in qualche modo, direttamente o indirettamente, alla scienza, alla tecnologia o alla matematica.

ARIA, ACQUA, TERRA, FUOCO

SPAZIO E TEMPO

SPAZIO E TEMPO (2)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (2)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (3)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (4)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (5)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (6)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (7)

AIUTO, MI STA SCAPPANDO IL COMPUTER DA SOTTO IL MONITOR (8)

NON SIAMO SOLI NELL'UNIVERSO

REINCARNAZIONE (O NO?)

KURT GODEL

KURT GODEL (2)

KURT GODEL (3)

SOLO TRA IL NUMERO ZERO E IL NUMERO 1 CI SONO INFINITI NUMERI REALI

MATEMATICA E INFINITO

MATEMATICA E INFINITO (2)

LA MUSICA: MATEMATICA INDIPENDENTE DEL NOSTRO CERVELLO

MUSICA E COLORI

SETTE: NUMERO DIVINO E INSONDABILE

IO CREDO CHE DIO HA CREATO IL MONDO

IO STIMO ANTONINO ZICHICHI

ALBERT EINSTEIN

ALBERT EINSTEIN (2)

GLI SCACCHI

OGGI DO' I NUMERI!

CONTINUO A DARE I NUMERI

UNO SPAZIO INFINITO E UNA GEOMETRIA NON EUCLIDEA IN PRESENZA DI GRANDI MASSE. (CHE VOR DI' ?)

PI GRECO

SOMMA INFINITA DI TERMINI

UNA PESCA MIRACOLOSA PERCHE' SENZA IL CALCOLATORE

UNA CENTRALE DI ENERGIA NUCLEARE PULITA SENZA INTERRUZIONE E SENZA GUASTI

EINSTEIN = mc²

CERCHI NEL GRANO, CERCHI DI VILLANO ? (per villano intendi: contadino, oppure intendi: screanzato, maleducato, prevaricatore)

SIGNIFICATI MISTICI DEL GIOCO DEGLI SCACCHI

LA COSA PIU' IMPORTANTE, NON DIMENTICARE MAI!.............

Qual è la cosa più importante di tutte? Risposta: la preghiera! E che cos'è la preghiera? Risposta: la preghiera è mantenere un contatto diretto con Dio! Immaginate un albero. All'apparenza sembra florido e robusto, ma le sue radici si sono seccate! Quell'albero, non passerà molto tempo, si seccherà del tutto e anche quello che appariva ancora in vita e florido si mostrerà secco e marcio! Esistono tante cose, tutte esteriori, che sembra che testimonino della vitalità di una persona, cose come la ricchezza, la bellezza esteriore, un buon posto in società........eccetera. Queste cose sono anche inseguite e additate come fautrici di successo nella vita! Ma in verità l'unica cosa che bisognerebbe cercare e indicare come fautrice di successo è la preghiera! Pregare significa fare affondare le proprie radici là dove l'acqua è sempre presente, il terreno è ricco di elementi vitali e serve a vivificare tutto l'albero! Forse si deve faticare per fare affondare profondamente le radici e si devono trascurare tante cose che all'apparenza ci mostrano vincenti!
“Quando pregate non sprecate troppe parole” disse il Maestro divino, “perché il Padre vostro già sa ciò di cui avete bisogno!”. Ma se il Padre dei cieli lo sa, noi non lo sappiamo! Dunque dobbiamo cercare un contatto continuo con Lui per saperlo! Intrattenersi con Lui, nel Suo silenzio che ci parla e ci dice molte più cose di quelle che non immaginiamo! San Giovanni della Croce diceva: “Gesù Cristo è la Parola del Padre e sempre Egli la ripete in eterno silenzio”!
Si deve pregare con fede! Se io ho fede allora già lo so che Dio è per me, non c'è bisogno che mi agito, non è agitandomi che il Signore decide di esaudirmi! E con pazienza instancabile, così come insegna il Vangelo! Se arrivano le prove, allora non mi lascio abbattere, perché so già che le prove non servono ad altro che a provare la mia fede e attendo l'aiuto che mi viene dal Signore, invece di lasciarmi trascinare nell'abbattimento e nella disperazione!

CI SONO SEGNALI CHE VENGONO DA PROFONDITA' REMOTE. ASCOLTIAMOLI!

Questo nostro pianeta, per quanto piccolo esso sia, racchiude in se stesso l'infinito: l'infinita perfezione della natura che si rispecchia negli innumerevoli luoghi e nei fondali marini dei suoi 500.000.000 di chilometri quadrati di terre e di acque. Il cielo, che al di sopra delle nubi è così azzurro e terso. La bellissima volta stellata, la quale è oggetto di studio da parte di ricercatori, dalla quale essi ottengono e si attendono informazioni su stelle, sui pianeti extrasolari, su radiazioni cosmiche, su segnali di qualsiasi tipo, su tutto l'universo insomma. Tutto intorno a noi, da qualunque parte ci volgiamo, ci parla di infinito, di silenzioso infinito mistero. Dio parla nel silenzio della natura, così come essa si presenta ai nostri occhi! E anche se stiamo a occhi chiusi, o soprattutto! Eppure, siamo ancora capaci di sentire la voce di Dio che parla nella natura? E che, così parlando, ci restituisce il senso del nostro esserci nel mondo, la nostra identità? Io ritengo che siamo come immersi in una coltre nebbiosa e fumosa, immersi in una specie di frastuono, nel quale circolano sempre e solo, ossessivamente, certe idee e queste idee sono come una nebbia che ci impedisce la visuale cristallina del cielo infinito e terso sopra di noi, sono come un frastuono che ci impedisce di udire la voce di Dio, Padre celeste! Il telegiornale è un appuntamento importante per ogni persona seria (?!), eppure, se ci si rifà solo alle idee, ai modi di pensare del TG e della TV in generale, si rischia di rimanere per sempre soffocati da questa coltre fumosa, senza riuscire a scorgere null'altro, oltre a quelle verità (?!) rozze e noiose, ripetitive fino all'ossessione, che fanno parte del sentire comune! Io credo che si debba ascoltare il TG con un orecchio solo, in modo che l'altro orecchio sia attento a un'informazione che giunga, possibilmente, da qualche altra parte! Così come, con un orecchio solo, credo che si debba ascoltare il parere comune di questa nostra società adagiata nel perbenismo e nel quieto vivere! Io credo che non riusciamo più a sentire null'altro se non le solite idiozie e banalità con le quali ci hanno, da lungo tempo ormai, plagiato il cervello! Per fare un paragone con le onde radio-TV, è come se non riuscissimo più a captare altro se non le solite scemenze! In ogni punto del nostro spazio è noto che arrivano i segnali di tutte le radio e di tutte le TV, a tutte le frequenze, però solo se un apparecchio è abilitato per ricevere un segnale ad una data frequenza, allora lo riceverà. Così per noi! Tutti i segnali arrivano a noi, da ogni parte della natura e del cosmo, da tutte le campane, diciamo, ma noi abbiamo ormai disattivato quei circuiti e non riceviamo più quei segnali a quelle date frequenze! Allora dobbiamo riabilitare quei circuiti che ci permettano di ricevere nuovamente i segnali al di là della coltre fumosa nella quale siamo immersi, segnali più a lungo raggio, che vengano da più lontano e che permettano di fare nuovamente vibrare dentro di noi quelle corde che non vibravano più e che ci fanno sentire vivi nella totalità del nostro essere, perché noi non siamo nati solo per vivere come animali che strisciano su questa terra, ma abbiamo un destino cosmico, un destino celeste. Dobbiamo riabilitare quei circuiti che ricongiungano il nostro essere con il cielo, non solo il cielo cosmico, ma il cielo spirituale, che è la nostra vera patria!