TRATTASI ANCORA DI INSIEMI INFINITI..........

Trattasi ancora di insiemi infiniti. E' ciò che avvicina un'attività umana, come la matematica, all'infinito e cioè al trascendente. In effetti è quello che rende interessante la matematica, il fatto di potersi occupare di insiemi infiniti, di potere stabilire regole che valgono per un insieme infinito, di potere spaziare per uno spazio infinito dei numeri, come viaggiare con un'astronave virtuale verso insiemi sempre più grandi di numeri, verso l'ignoto senza limiti e scoprire sempre cose nuove. Trattando sempre di numeri primi, una delle tante domande che tengono e hanno tenuto impegnati i matematici è la seguente: esistono infinite coppie di numeri primi gemelli? I numeri primi gemelli sono quelle coppie di numeri primi che distano tra loro solo di due unità, come 5-7, 11-13, 17-19, 41-43, 101-103........ Andando avanti con i numeri si trovano, si sono trovate sempre, coppie di numeri primi gemelli, fino a dove è stato possibile spingersi in avanti. La domanda è: sono infinite queste coppie di numeri, cioè sarà sempre possibile trovare una coppia più grande di quella precedente? In fondo è una domanda semplice e probabilmente proprio la semplicità della domanda, in unione al fatto di non essere mai riusciti a trovare una risposta, ha tenuto e mantiene vivo l'interesse dei matematici. I matematici fanno matematica per puro diletto, per andare a caccia di risposte a domande a cui nessuno prima aveva saputo rispondere, però non si può mai sapere se la risposta a un qualsiasi quesito potrà avere dei risvolti pratici, come nel caso del sistema RSA di crittografia trattato nel post precedente. Godel, nel 1931, aveva dimostrato che ci sono verità matematiche che non potranno mai essere dimostrate! ( vedi posts: KURT GODEL      KURT GODEL (2)      KURT GODEL (3) ). Una verità indimostrabile potrebbe essere proprio quella che riguarda il numero (infinito o finito) dei numeri primi gemelli! Forse, in base a ciò che ha scoperto Godel, non potremo mai sapere se queste coppie di primi gemelli sono in numero finito o se sono in numero infinito! A questo punto è doveroso fare una precisazione: nel post KURT GODEL (2) ho scritto: “non si può neanche sapere quali siano queste verità non dimostrabili, proprio perchè non riusciremo mai a sapere che sono delle “verità”. Infatti se sapessimo che sono delle verità allora le avremmo dimostrate.” Dal punto di vista logico, quello che ho scritto è esatto, però non rende esattamente l'idea ed è bene precisare. Io sto imparando queste cose dalle pubblicazioni divulgative (auspicando di entrare un giorno nei dettagli più tecnici) ed è giusto che io precisi meglio quello che vado imparando. Mettiamo il caso che un giorno si scopra questa verità: non è possibile decidere (scoprire) se i numeri primi gemelli sono finiti o se sono infiniti. Allora questa verità sarebbe senza dubbio vera, però riguarderebbe un'altra verità, della quale non si potrebbe sapere se essa è vera o meno. E cioè non si potrebbe mai sapere se i primi gemelli sono in numero finito o infinito. E quindi sarebbe in qualche modo possibile sapere che cosa riguardano queste verità indimostrabili! (Mi rendo conto che è un ragionamento arzigogolato e che potrebbe apparire anche contorto, però l'argomento in se stesso è ostico ed è quello che ritengo di avere capito e ritenevo doveroso fare questa precisazione!) Se imparerò o disimparerò qualche altra cosa cercherò di farlo presente!