PI GRECO

Come si calcola l'area di un cerchio? E' facile! Basta elevare al quadrato il raggio del cerchio e moltiplicarlo per π (pi greco). Pi greco è quel numero 3.14159265........ che ha infinite cifre dopo la virgola e non è periodico, il che equivale a dire che è irrazionale ossia non può mai essere espresso come divisione di due numeri interi. Pi greco è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Come si può calcolare il valore di π? Si può arrotolare un pezzo di spago intorno a un cilindro di cui si conosce il diametro e così ottenere la misura della circonferenza del cilindro dal pezzo di spago arrotolato. Dividendo la circonferenza per il diametro abbiamo π. Però questo è un modo troppo rozzo, ci vuole qualcosa di rigorosamente matematico. Allora si può procedere nella maniera in cui procedette Archimede. Archimede prese in considerazione i poligoni regolari (che hanno tutti i lati uguali) inscritti nel cerchio e quelli circoscritti al cerchio. E' facile constatare che prendendo dei poligoni regolari inscritti nel cerchio con un sempre maggior numero di lati, i poligoni si avvicinano sempre di più alla circonferenza, fino quasi a somigliarle e a non riconoscere la differenza. Se voi disegnaste su un foglio un poligono regolare di 10.000 lati non riuscireste affatto a distinguerlo da una circonferenza. Ma può bastare questo? A occhio nudo non si riconoscono differenze, ma matematicamente le differenze ci sono, perché il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza, per quanti lati abbia, non raggiungerà mai il valore della circonferenza. Lo stesso dicasi per i poligoni regolari circoscritti alla circonferenza. Prendendo dei poligoni circoscritti con un sempre maggior numero di lati, si ottiene un valore del perimetro che si avvicina sempre di più a quello della circonferenza. In realtà è sufficiente che ci si possa avvicinare quanto si vuole al valore effettivo di π, per potere dire di conoscere il valore di π. E con questa procedura, prendendo cioè poligoni inscritti e circoscritti con un sempre maggior numero di lati, ci si può avvicinare con una precisione arbitraria al valore di π, anche se ci volessero, che so, 10 milioni di anni per conoscere le prime 100 cifre decimali. Esistono altri metodi matematici più efficaci per calcolare le cifre decimali di π. Un computer può calcolare miliardi di cifre in poche ore, ma la situazione non è sostanzialmente diversa anche se i tempi di calcolo sono molto più accelerati. Infatti noi diciamo di conoscere il valore di π solo perché, in linea di principio, possiamo arrivare a conoscere un numero illimitato di cifre dopo la virgola, tempo permettendo. Archimede con il suo metodo arrivò a stabilire solo due cifre dopo la virgola: π = 3.14........
Un modo per avvicinarsi quanto si vuole al valore di π è quello di eseguire questa somma algebrica infinita: 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + 4/13 – 4/15 + ........ Come si vede, si sommano e si sottraggono alternatamente frazioni al cui numeratore c'è sempre il numero 4 e a denominatore ci sono via via crescendo tutti i numeri dispari. Non è un metodo veloce, ma è la forma più semplice ed elegante che io conosca per esprimere π con una somma algebrica infinita.
Infine, una considerazione importante: è sbagliato credere che il carattere di numero irrazionale di π (cioè con infinite cifre non periodiche) sia conseguenza del fatto che per calcolarlo bisogna avvicinarvisi con poligoni con un numero sempre maggiore di lati. Si potrebbero infatti calcolare le lunghezze di certe linee curve, approssimandole con segmenti di retta in numero sempre maggiore e avere come risultato non un numero irrazionale, ma razionale.