Premetto che chi ha vissuto bene senza leggere il post precedente può tranquillamente vivere altrettanto bene senza leggere questo post, il quale intende precisare ulteriormente il significato del precedente.
Quando in matematica si parla di somme infinite o di prodotti infiniti bisogna andarci cauti. Che cosa significa una somma infinita? Possiamo forse sommare infiniti termini? In matematica tutto deve essere definito in modo rigoroso. Ecco che i matematici hanno inventato i termini corretti per interpretare il significato di queste somme infinite.
Dire che la somma infinita 1 + 1/2+ 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...... = 2, in termini matematici significa questo: per ogni numero ε preso piccolo a piacere esiste sempre un numero di termini N tale che la differenza tra il valore 2 e la somma 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + ..... + 1/2N è minore di ε. Questo significa che ci si può avvicinare quanto si vuole al valore 2.
Allo stesso modo, dire che la somma infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ............. diverge, ossia tende a infinito, in termini matematici significa: per ogni numero n preso grande a piacere, esiste sempre un numero di termini N tale che la somma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + .... + 1/N è maggiore di n. Questo significa che la serie cresce indefinitamente. Tutte e due le serie crescono sempre. Una non supererà mai il valore di 2 e l'altra crescerà indefinitamente senza un limite.
Consideriamo l'uguaglianza del post precedente, uguaglianza che stabilisce che i numeri primi sono in numero infinito.
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ......+ 1/N + ...... + ...... = (1 + 1/2 + 1/22 + 1/23+ .....) x (1 + 1/3 + 1/32 + 1/33 + ......) x (1 + 1/5 + 1/52 + 1/53 + .....) x (1 + 1/p + 1/p2 + 1/p3 + ......) x (..........) x (.........) x .........
Sappiamo che, assumendo N termini, in numero finito, per la serie armonica a sinistra dell'uguaglianza, occorrono un certo numero di termini, sempre in numero finito, in ognuna delle parentesi a destra dell'uguaglianza, in modo da potere costruire tutti i denominatori da 1 a N. In realtà a destra dell'uguaglianza ci sarà sempre qualche termine in più, il cui denominatore supera N e quindi non si potrà scrivere un'uguaglianza perfetta che riguardi un numero finito di termini (in realtà bisognerebbe scrivere < (minore) invece di =). Però si può vedere chiaramente che, per quanti termini si prendano, ognuno dei valori racchiuso nelle parentesi sarà sempre minore di un fissato valore finito, infatti tutte queste serie convergono a valori finiti. Quindi le parentesi (ossia i numeri primi) non potranno essere in numero finito, perché questo formerebbe un fissato valore finito del prodotto, valore insuperabile, e si può prendere sempre un numero di termini N della serie armonica in modo da superare questo valore finito, perché la serie armonica sappiamo essere divergente.
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