I numeri primi hanno costituito da sempre uno dei più difficili campi di indagine dei matematici. Per esempio i matematici hanno da sempre cercato una semplice formula o procedimento che sia in grado di “sfornare”, per così dire, in sequenza i numeri primi, però non l'hanno mai trovato. Ricordiamo che un numero primo è un numero intero che è divisibile solo per se stesso e per uno. A fianco di questa “osticità” dei numeri primi, che hanno nel farsi rinchiudere in una semplice formula, esiste altresì anche un semplice modo per concettualizzarli. Il semplice modo è questo: basta scrivere (visualizzare mentalmente) tutti i prodotti di due fattori, da 2 a infinito, per visualizzare tutti i numeri che primi non sono, cioè i numeri composti. In questo modo:
2 x 2, 2 x 3, 2 x 4, 2 x 5, 2 x 6 ...............................
3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6 ...............................
4 x 4, 4 x 5, 4 x 6 ...............................
5 x 5, 5 x 6 ................................
6 x 6 ..................................
...............................................................
....................................................
Questi prodotti rappresentano tutti i numeri che primi non sono e perciò basta togliere questi dall'insieme di tutti i numeri interi per avere tutti i numeri primi. Senonché ci si accorge subito che è un'impresa ardua. Infatti se proviamo a scrivere i corrispondenti valori numerici ci accorgiamo che non è possibile trovare un semplice modo per ordinare questi valori in ordine crescente, in aggiunta al fatto che questi valori sono ridondanti, ossia compaiono più di una volta.
4, 6, 8, 10, 12 .........
9, 12, 15, 18..........
16, 20, 24..........
25, 30..........
36.........
Questa dicotomia apparente, questo dissidio insanabile, tra la semplicità nel visualizzare mentalmente il primo triangolo infinito di prodotti, e l'impossibilità di visualizzare mentalmente, in maniera ordinata, la successione dei valori che questi prodotti costituiscono, è uno di quei problemi che fanno scervellare uno che si occupa di matematica. Un problema irrisolto dei matematici è quello di stabilire, con un metodo semplice, se un dato numero è un numero primo o se è composto e in questo secondo caso, trovare i fattori primi di cui è composto. Il problema riguarda sia i numeri piccoli che i numeri grandi, perché è un problema di metodo. Però, per quanto riguarda i numeri piccoli, e qui per numeri piccoli intendiamo numeri anche con 10 cifre, un computer dotato di un programma apposito può facilmente individuare se sono primi e (se non lo sono) scomporli in fattori primi in una frazione di secondo. La difficoltà matematica nello scomporre grandi numeri invece sta alla base del sistema RSA che si usa per “criptare” le informazioni che viaggiano su internet, cioè per renderle illeggibili a un eventuale pirata informatico che non sia in possesso della chiave giusta per “decriptare” le informazioni così criptate. Questo sistema si basa sul fatto che, mentre per eseguire il prodotto tra due numeri primi di 100 cifre circa, a un computer basta, anche qui, una frazione di secondo, per eseguire l'operazione inversa, ossia per ricavare, dal numero di 200 cifre circa ottenuto, i due numeri primi di 100 cifre di cui il numero è composto, a un computer appositamente programmato è necessario un tempo decisamente più lungo (giorni), e questo per la difficoltà di metodo matematico di cui si diceva. Quella di trovare metodi sempre più efficaci per scomporre questi grandi numeri in fattori primi è una ricerca che va avanti e perciò questo metodo RSA potrebbe essere reso inutilizzabile se si riuscisse a scoprire o a elaborare un metodo rapido di scomposizione. I numeri primi quanti sono? Sono in numero infinito, così come i numeri composti. Questo significa che continuando a eseguire tutti i prodotti indicati dal primo triangolo infinito di numeri (i numeri composti) ci sarà sempre qualche spazio lasciato tra numero e numero (i numeri primi appunto). Per esempio, tra i pochi valori che abbiamo calcolato sono sicuramente rimasti fuori i numeri 1,2,3,5,7 e 11: significa che sono numeri primi. Che i numeri primi sono in numero infinito lo dimostrò già Euclide (300 a.C.) con una semplice dimostrazione. I numeri primi però diventano sempre più rarefatti (e di conseguenza i numeri composti sempre più fitti) man mano che i numeri crescono. I matematici non studiano la matematica perché essa debba avere qualche scopo pratico, anche se alla fine la matematica serve sempre a qualche scopo. Abbiamo visto come si sia usata, con l'avvento dei computer, la difficoltà di scomposizione di grandi numeri per usare questi grandi numeri per criptare le informazioni su internet. A dire il vero i numeri primi hanno servito anche a un altro scopo, molto meno pratico e molto più concettuale: hanno servito per dimostrare, nel 1931, il teorema di indecidibilità o teorema di incompletezza di Godel. Il teorema di Godel (non mi dilungo qui, vedi posts del 18-02-2008) è uno dei più grandi risultati, dal punto di vista concettuale, del pensiero matematico. Riguarda l'insieme infinito dei numeri (cosa questa che si ricollega in qualche modo al trascendente) e sostanzialmente dice che ci possono essere (o ci sono?) delle verità matematiche che non potranno mai essere dimostrate! Per dimostrare questo teorema, Godel ha usato i numeri primi e più precisamente ha usato la proprietà che ha ogni numero, anche questa dimostrata in maniera semplice da Euclide, della fattorizzazione unica. Essa dice, semplicemente, che ogni numero può essere scomposto in maniera unica in fattori primi! Per esempio, il numero 30, tanto per prendere un numero a caso, può essere scomposto in diversi modi: 3 x 10 oppure 5 x 6 oppure ancora 2 x 15. Però se si scompone nei suoi fattori primi, allora può essere scomposto unicamente in questo modo: 2 x 3 x 5 ! (Il numero 1 non si usa, è una classe a sè stante, altrimenti si potrebbe moltiplicare quante volte si vuole per 1!).
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