DA EUCLIDE A EULERO PASSANDO PER UNA SERIE DI INFINITI NUMERI PRIMI

Già Euclide dimostrò, in maniera semplice, nel 300 a.C. circa, che i numeri primi sono in numero infinito. Ma nel '700 il grande matematico Eulero ottenne, sorprendentemente, una dimostrazione di questo fatto in maniera del tutto diversa da quella di Euclide. (Evidentemente era destino che chiunque fosse stato a dimostrare questo fatto, il suo cognome dovesse incominciare con Eu......). Ora ci accingiamo a seguire questa dimostrazione di Eulero. Se pensate di poter vivere lo stesso senza aver bisogno di seguire questa dimostrazione, allora potete saltare questo post! La dimostrazione è la seguente: si consideri la cosidetta serie armonica. La serie armonica è quella serie data dalla somma infinita di termini 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ........... Una somma infinita di termini può anche dare un risultato non infinito, ma non è questo il caso. Invece nel caso della serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ........ , per esempio, dove il valore di ogni termine è esattamente la metà del valore del termine precedente, il risultato non diverge a infinito ma converge verso un numero preciso, che è il numero 2. Cioè ci si può avvicinare quanto si vuole al valore 2, però senza mai raggiungerlo. Nel caso della serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ..........., invece, il risultato continua a crescere indefinitamente all'infinito, e non è difficile dimostrarlo, seppure lentamente. Ma noi, per il momento, assumiamo che 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ........... =  (infinito) come dato di fatto, riservandoci di dimostrarlo all'ultimo. E dedichiamoci, su questa base, a dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Per ottenere la dimostrazione che cerchiamo, bisogna riscrivere la serie armonica in maniera differente. Infatti la serie armonica si può anche riscrivere così: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ........... = (1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+......)x(1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴+......)x(1+1/5+1/5²+1/5³+1/5⁴+......)
x(1+1/p+1/p²+1/p³+1/p⁴+.......)x(.................)x(.................)x......

Che cos'è questo? Rinchiusa nella prima parentesi c'è la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ........, serie che abbiamo già visto che converge al valore 2. Questa serie è moltiplicata per altre serie successive nelle quali ogni termine è, rispettivamente, un terzo del termine precedente, un quinto, 1/p, ......... , dove p è il successivo numero primo e cioè 7. Nelle parentesi che seguono si prendono in considerazione, dopo p, tutti gli altri numeri primi, che ancora non sappiamo se sono infiniti o finiti, non avendolo ancora dimostrato (!). Non è difficile riconoscere che questa espressione a destra dell'uguaglianza equivale a quella a sinistra, e cioè a 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ..........., se si considera che (a+b+....) x (c+ d+.....) = ac + ad + bc + bd (= a x c + a x d + b x c + b x d, per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma). E se si considera anche che tutti i numeri interi, da 1 a infinito, si possono scrivere come tutte le diverse combinazioni di prodotti di numeri primi! Così tutti i numeri 2,3,4,5..... a denominatore, a sinistra dell'uguaglianza, ce li abbiamo a denominatore a destra dell'uguaglianza!

Come è vero che la serie 1+1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+...... converge (al valore 2), così è altrettanto vero che convergono, a un valore finito, tutte le altre serie: 1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴+......, 1+1/5+1/5²+1/5³+1/5⁴+......, ecc...., essendo che tutti i valori dei loro termini sono, rispettivamente, più piccoli dei valori 1, 1/2, 1/2², 1/2³, 1/2⁴

Ossia tutte le parentesi contengono, dentro di loro, un valore finito. Perciò, essendo che il valore a sinistra dell'uguaglianza tende a infinito (serie armonica), perché il valore a destra dell'uguaglianza tenda a infinito, è necessario che le parentesi siano in numero infinito, e cioè che i numeri primi siano infiniti! c.v.d. (che vi avevo detto?) Ci rimane da dimostrare solo che la serie armonica non può convergere a un valore finito, ma il suo valore cresce indefinitamente.

Dunque non ci rimane che riscrivere la serie armonica in questo modo:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + (........... ...) + (........ ...) + ............

in maniera che i termini dentro le parentesi siano in numero di 2,4,8,....secondo le potenze di 2. Si dimostra facilmente che ogni parentesi racchiude un valore che è sicuramente maggiore di 1/2, perché la serie armonica è sicuramente maggiore di questa serie: 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + (1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16) + (........... ...) + (........ ...) + ............ dove ogni valore racchiuso nelle parentesi è uguale esattamente a 1/2.
Infatti 1/3 è maggiore di 1/4.
1/5, 1/6, 1/7 sono tutti maggiori di 1/8.
1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15 sono tutti maggiori di 1/16 e via di seguito.
Quindi la serie armonica può essere riscritta come una somma infinita di termini sicuramente maggiori di 1/2 e per questo fatto sicuramente crescerà indefinitamente e non convergerà verso nessun numero finito.