NELLA MATEMATICA A VOLTE E' NECESSARIA MOLTA IMMAGINAZIONE!

Quanto fa 5 – 2? Risposta: 3.
E 2 – 5? Risposta: -3.
Ma che cosa significa un numero negativo? Come si fa a contare ciò che non c'è? Esistono forse -3 mele? -3 euro? Ecco che dagli oggetti reali si passa a concepire come reali degli oggetti immaginari. Io ho -1000 euro significa che sono debitore verso qualcuno di 1000 euro. Se si mettono i numeri positivi crescenti su una retta, allora dall'altra parte della retta, prima dello zero, avremo, in maniera simmetrica, i numeri negativi. Con una semiretta, da 0 a infinito, abbiamo i numeri positivi, invece, con una retta intera, infinita da entrambi i lati, abbiamo tutti i numeri. E in mezzo ai numeri interi, positivi e negativi, abbiamo i numeri frazionari 1/3, 2/5, -13251/11......., e i numeri irrazionali (che non sono esprimibili come rapporto di due numeri interi) come la radice quadrata di 2, il pi greco.......... La radice quadrata di 2 è quel numero che, elevato al quadrato dà 2. Sulla retta dei numeri ha il suo posto ben preciso, sebbene non si possa esprimere come rapporto tra due interi ed ha infinite cifre che si susseguono dopo la virgola, senza nessuna ripetizione periodica, quindi è calcolabile con una precisione infinita e quindi ha il suo posto preciso sulla retta dei numeri (sembra incredibile ma è così!). Per avere un'idea della precisione di questa lunghezza è sufficiente figurarsi mentalmente la diagonale di un quadrato, che, rispetto a un suo lato è lunga esattamente la radice quadrata di 2 ossia 1.4142135......
Quanto fa -3 x 5? E' facile, basta ripetere il -3 per 5 volte sull'asse negativo per avere -15.
E quanto fa -3 x -5? C'è il doppio segno meno e perciò doppia inversione di asse e il segno resta positivo. Risultato: +15. (Questa regola: meno per meno = più resta confermata anche dall'applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e quindi la struttura dell'edificio matematico rimane in piedi anche introducendo una regola apparentemente bizzarra come meno per meno = più).
Ecco: introducendo regole nuove e apparentemente bizzarre bisogna unicamente preoccuparsi che l'edificio matematico resti in piedi e che resti coerente con se stesso senza che si venga condotti a delle contraddizioni (incoerenze) in alcun modo.
Essendo che -3 x -3 = 9 e allo stesso modo 3 x 3 = 9 allora la radice quadrata di un numero dà un risultato doppio, oppure ha due soluzioni, che dir si voglia: la soluzione positiva e quella negativa. √ 9 = ±3
E, allo stesso modo, appare chiaro che non possono esserci radici quadrate di numeri negativi, perché qualsiasi numero, o positivo o negativo, elevato al quadrato dà un numero positivo! A meno di non volere introdurre una nuova regola matematica, o meglio una nuova entità matematica! Questa nuova entità, chiamata i, sarebbe quel numero (entità) che, moltiplicato per se stesso, dà come risultato -1.
i x i = -1
In questo modo si possono assegnare dei valori alle radici quadrate di tutti i numeri negativi! Per esempio √-9 = ± 3 x i ( = ± 3i)
A che cosa serve questo artificio? Non si poteva essere contenti del fatto, già piuttosto artificioso da un certo punto di vista, che meno per meno fa più e, per salvaguardare ancora meglio questa preziosa regola, bandire una volta per tutte le radici quadrate di numeri negativi? In realtà, l'introduzione di questi numeri, chiamati numeri immaginari, è stata una delle più feconde innovazioni nella matematica! Una innovazione che, pur non chiarendo in maniera soddisfacente il significato logico del suo stesso esistere (radice quadrata di -1?), ha portato a un allargamento dell'edificio matematico, il quale, a sua volta, così allargato, ha contribuito a risolvere dei problemi prima irrisolti! Questi numeri immaginari sono tutti i numeri moltiplicati per i, per questa entità che rappresenta la radice quadrata di -1. Questi nuovi numeri non possono trovare posto sulla retta infinita dei numeri che già conosciamo, essendo questa retta infinita già tutta occupata dai numeri reali, per distinguerli da quelli immaginari. Allora i numeri immaginari si rappresentano su una retta infinita che interseca perpendicolarmente, nel punto dello zero, la retta dei numeri reali. In questo modo, ogni punto del piano, è individuabile da due numeri: un numero reale e un numero immaginario (come nella battaglia navale) e rappresenta un numero cosidetto numero complesso, cioè formato da una coppia di numeri: un numero reale più un numero immaginario. Il numero complesso 2 + 3i è rappresentato da quel punto del piano le cui perpendicolari ai due assi cadono sul punto 2 dell'asse dei numeri reali e sul punto 3 dell'asse dei numeri immaginari. E' molto semplice. Sommare tra di loro due numeri complessi è anche molto semplice: è sufficiente sommare separatamente le due parti, quella reale e quella immaginaria. Per esempio (2 + 3i) + (5 – 6i) = 7 – 3i (per somma naturalmente si intende somma algebrica ossia somma tra numeri che sono dotati di segno e perciò riguarda anche la differenza!). Moltiplicare tra di loro due numeri complessi è un po' più complicato, ma solo un po', e allo stesso modo è anche più interessante!
Bisogna ricordarsi che, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, rimane sempre vero che (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d = ab + ad + bc + bd. Se vogliamo calcolare, per esempio (2 + 3i) x (5 – 6i) abbiamo
(2 + 3i) x (5 – 6i) = 2 x 5 + 2 x -6i + 3i x 5 + 3i x -6i = 10 -12i +15i +18 = 28 + 3i. L'ultimo dei 4 termini, il numero 18, è stato ottenuto perché 3i x -6i = -18i² e i² = -1. Quello che non salta fuori da questa accozzaglia di numeri è una importante proprietà geometrica del prodotto di numeri complessi e per verificarla bisogna disegnarne la rappresentazione grafica sul piano. Se chiamiamo modulo quel segmento che unisce un numero complesso a + ib con l'origine degli assi (dove essi si intersecano) e se chiamiamo fase quell'angolo sotteso dall'asse reale positivo e il modulo, allora questa importante proprietà geometrica dice che, nel prodotto di due numeri complessi, il numero complesso risultante avrà come modulo il prodotto dei moduli e come fase la somma delle singole fasi! In particolare risulta che per moltiplicare un numero complesso ripetutamente per se stesso, basta moltiplicare il modulo per se stesso e fare ruotare la fase ogni volta del medesimo angolo di partenza! Allora per estrarre la radice, diciamo 12° (un numero qualunque), di un numero complesso, è sufficiente dividere il piano in 12 angoli uguali. Ognuna di queste divisioni, ripetuta 12 volte per se stessa, si ricondurrà a sovrapporsi al numero complesso di partenza, ogni divisione avendoci girato intorno rispettivamente 1 volta, 2,3,4,5,6....12(o zero) volte!