Continuiamo a dare i numeri.... Possiamo facilmente concludere che la somma delle cifre di 7³ può dare solo 10 e non 19. Infatti deve essere un numero inferiore a 700, perchè 700 sappiamo che è 7 x 10 x 10 che è sicuramente superiore a 7 x 7 x 7. Dunque i possibili risultati rimangono solo: 073,163,253,343,433,523,613,703
Dopo la matematica modulo 10, che ci dice che l'ultima cifra di 7³ è uguale a 3 e dopo la matematica modulo 9, che ci dice che la somma delle cifre di 7³ è uguale a 10, usiamo la matematica modulo 7 per stabilire i valori delle singole cifre di cui è composto 7³. 10 modulo 7 è uguale a 3. Ossia il resto della divisione di 10 per 7 è uguale a 3. Invece 100 modulo 7 è uguale a 2, cioè il resto della divisione di 100 per 7 è uguale a 2. Questo ci serve a stabilire il “peso” (in modulo 7) che hanno le diverse cifre di cui è composto 7³. Se il numero cercato 7³ è composto da 3 cifre, ABC, allora, in matematica modulo 7, bisognerà moltiplicare A, la cifra delle centinaia, per 2, perché 100 mod 7 = 2 e bisognerà moltiplicare B, la cifra delle decine, per 3, perché 10 mod 7 = 3. C si moltiplica per 1 ovviamente, perché 1 mod 7 = 1. E poi bisogna sommare le tre cifre A,B,C così rispettivamente moltiplicate per 2, per 3 e per 1 per avere il risultato in modulo 7. Il risultato deve essere un multiplo di 7 (che in modulo 7 vuol dire 0), perché 7³ deve essere divisibile per 7. Se A e C fossero uguali, come effettivamente sono, allora questo valore A = C avrebbe lo stesso peso di B, infatti il peso di B è 3 e i pesi di A e C sommati insieme danno 2 + 1 = 3! Avendo lo stesso peso, ecco che perché il risultato sia un multiplo di 7 è sufficiente che A + B = 7. E infatti così è! Nessun altro poi dei possibili risultati va bene, perché è facile vedere che per passare da 343 ai valori superiori 433,523,613, oppure ai valori inferiori 253,163,073 bisogna aggiungere o togliere dei multipli di 90 che non possono essere dei multipli 7! Ricapitolando: l'ultima cifra di 7³ = 3 perché 7³ mod 10 = 3. 7³ può avere al massimo 3 cifre perché 10³ = 1000, anzi sappiamo che 7³ è sicuramente minore di 700 perché 700 = 7 x 10 x 10. La somma delle cifre di 7³ divisa per 9 dà come resto 1 perché 7³ mod 9 = 1. Perciò la somma può essere 10 o 19. Anzi può essere solo 10, perché sappiamo che sicuramente 7³ è minore di 700. Possiamo trovare facilmente che la cifra delle centinaia va moltiplicata per 2 e la cifra delle decine va moltiplicata per 3, per avere il resto della divisione di 7³ per 7. Ma sappiamo sicuramente che 7³ diviso 7 dà come resto 0. Prendendo la cifra delle centinaia uguale alla cifra delle unità, questa cifra “unificata” va moltiplicata per 3, per avere il resto della divisione per 7, esattamente così come la cifra delle decine. Ecco che è sufficiente che la somma della cifra così “unificata” più la cifra delle decine sia un multiplo di 7 e cioè 7. E così possiamo stabilire che 343 potrebbe essere il risultato di 7³, avendone tutti i requisiti richiesti. Poi ne siamo certi, perché per ottenere gli altri possibili risultati: 433,523,613,253,163,073, vediamo che dobbiamo sommare o sottrarre da 343 dei numeri che sicuramente non sono dei multipli di 7 e quindi i numeri ottenuti a loro volta non possono essere dei multipli di 7. C.v.d.
Ora posso considerarmi soddisfatto! Prima, guardando il numero 343 ottenuto con l'utilizzo della calcolatrice, oppure con il calcolo manuale, non riuscivo a considerarmi soddisfatto! Non mi accontentavo del semplice calcolo, volevo qualcosa che giustificasse in maniera diversa ogni singola cifra! In questo modo siamo portati a ricercare quelle dimostrazioni in cui la netta evidenza coincide con il calcolo rigoroso! Che cosa significa questo? Per esempio se io dico che 2 + 2 = 4, questo è una netta evidenza, oltre a essere un calcolo rigoroso! Nella matematica modulo 10, 9 o 7, essendo 10, 9 e 7 dei piccoli numeri, abbiamo che i risultati sono delle nette evidenze!
Dopo la matematica modulo 10, che ci dice che l'ultima cifra di 7³ è uguale a 3 e dopo la matematica modulo 9, che ci dice che la somma delle cifre di 7³ è uguale a 10, usiamo la matematica modulo 7 per stabilire i valori delle singole cifre di cui è composto 7³. 10 modulo 7 è uguale a 3. Ossia il resto della divisione di 10 per 7 è uguale a 3. Invece 100 modulo 7 è uguale a 2, cioè il resto della divisione di 100 per 7 è uguale a 2. Questo ci serve a stabilire il “peso” (in modulo 7) che hanno le diverse cifre di cui è composto 7³. Se il numero cercato 7³ è composto da 3 cifre, ABC, allora, in matematica modulo 7, bisognerà moltiplicare A, la cifra delle centinaia, per 2, perché 100 mod 7 = 2 e bisognerà moltiplicare B, la cifra delle decine, per 3, perché 10 mod 7 = 3. C si moltiplica per 1 ovviamente, perché 1 mod 7 = 1. E poi bisogna sommare le tre cifre A,B,C così rispettivamente moltiplicate per 2, per 3 e per 1 per avere il risultato in modulo 7. Il risultato deve essere un multiplo di 7 (che in modulo 7 vuol dire 0), perché 7³ deve essere divisibile per 7. Se A e C fossero uguali, come effettivamente sono, allora questo valore A = C avrebbe lo stesso peso di B, infatti il peso di B è 3 e i pesi di A e C sommati insieme danno 2 + 1 = 3! Avendo lo stesso peso, ecco che perché il risultato sia un multiplo di 7 è sufficiente che A + B = 7. E infatti così è! Nessun altro poi dei possibili risultati va bene, perché è facile vedere che per passare da 343 ai valori superiori 433,523,613, oppure ai valori inferiori 253,163,073 bisogna aggiungere o togliere dei multipli di 90 che non possono essere dei multipli 7! Ricapitolando: l'ultima cifra di 7³ = 3 perché 7³ mod 10 = 3. 7³ può avere al massimo 3 cifre perché 10³ = 1000, anzi sappiamo che 7³ è sicuramente minore di 700 perché 700 = 7 x 10 x 10. La somma delle cifre di 7³ divisa per 9 dà come resto 1 perché 7³ mod 9 = 1. Perciò la somma può essere 10 o 19. Anzi può essere solo 10, perché sappiamo che sicuramente 7³ è minore di 700. Possiamo trovare facilmente che la cifra delle centinaia va moltiplicata per 2 e la cifra delle decine va moltiplicata per 3, per avere il resto della divisione di 7³ per 7. Ma sappiamo sicuramente che 7³ diviso 7 dà come resto 0. Prendendo la cifra delle centinaia uguale alla cifra delle unità, questa cifra “unificata” va moltiplicata per 3, per avere il resto della divisione per 7, esattamente così come la cifra delle decine. Ecco che è sufficiente che la somma della cifra così “unificata” più la cifra delle decine sia un multiplo di 7 e cioè 7. E così possiamo stabilire che 343 potrebbe essere il risultato di 7³, avendone tutti i requisiti richiesti. Poi ne siamo certi, perché per ottenere gli altri possibili risultati: 433,523,613,253,163,073, vediamo che dobbiamo sommare o sottrarre da 343 dei numeri che sicuramente non sono dei multipli di 7 e quindi i numeri ottenuti a loro volta non possono essere dei multipli di 7. C.v.d.
Ora posso considerarmi soddisfatto! Prima, guardando il numero 343 ottenuto con l'utilizzo della calcolatrice, oppure con il calcolo manuale, non riuscivo a considerarmi soddisfatto! Non mi accontentavo del semplice calcolo, volevo qualcosa che giustificasse in maniera diversa ogni singola cifra! In questo modo siamo portati a ricercare quelle dimostrazioni in cui la netta evidenza coincide con il calcolo rigoroso! Che cosa significa questo? Per esempio se io dico che 2 + 2 = 4, questo è una netta evidenza, oltre a essere un calcolo rigoroso! Nella matematica modulo 10, 9 o 7, essendo 10, 9 e 7 dei piccoli numeri, abbiamo che i risultati sono delle nette evidenze!
Nessun commento:
Posta un commento