venerdì 18 febbraio 2011

Sulle orme di Fermat (robetta da niente........)

La “teoria dei numeri” tratta dei numeri interi: 1,2,3,........ perciò qui tratteremo di numeri interi.I numeri dispari divisi per 4 o danno resto 1 o danno resto 3.I numeri primi > 2 sono tutti dispari, per cui, divisi per 4 o danno resto 1 (in questo caso si dice che sono della forma 4k + 1) o danno resto 3 (sono della forma 4k +3).Pierre De Fermat è stato il primo ad affermare che ogni numero primo della forma 4k + 1 può essere scritto in modo unico come la somma di due quadrati.

Esempi:  
17 = 12 + 42  
13 = 22 + 32  
29 = 22 + 52  
41 = 42 + 52

(Invece i numeri della forma 4k + 3, primi o non primi, non si possono mai scrivere come somma di due quadrati, e questo si può dimostrare in modo agevole).Questa scoperta di Fermat è affascinante perché è noto che i numeri primi non si possono scomporre in fattori, però lui ci ha indicato lo stesso un modo per scomporre in modo unico un numero primo, che non è la scomposizione in fattori ma è la scomposizione nella somma di due quadrati. Che cosa dire invece dei numeri primi della forma 4k + 3 ?Per il momento ho trovato un modo per scomporre, in modo simile a quello indicato da Fermat, un numero primo non della forma 4k + 3, ma della forma 8k + 3.ed è questo: ogni numero primo del tipo 8k+ 3 si può scrivere in modo unico come somma di un quadrato più il doppio di un altro quadrato (n = a2 + 2b2 ).

Esempi:  
11 = 32 + 2·12  
19 = 12 + 2·32  
43 = 52 + 2·32  
59 = 32 + 2·52

Per il momento custodisco la dimostrazione gelosamente per me (nessuno così si potrà impadronire in modo facile indebitamente del mio lavoro), ma vi invito a trovare un controesempio (può sempre darsi che io abbia sbagliato qualcosa senza accorgermene infatti, nessuno è perfetto), cioè un numero primo qualsiasi della forma 8k + 3 che non sia esprimibile in modo unico come somma di un quadrato più il doppio di un altro quadrato.

1 commento:

stefanoulm ha detto...

Cercando sulla rete pare che questo teorema sia già stato dimostrato, non so quando e da chi. Alleluja, sia lode a Dio! Avendolo io dimostrato in maniera indipendente abbiamo una ragionevole certezza di ritenere che sia vero!

Post più popolari